Як побудувати графік раціональної функції

категорія Поради та секрети




Раціональна функція має вигляд у = N (х) / D (х), де N і D - многочлени. Для побудови точного графіка такої функції знадобляться непогані знання алгебри, включаючи диференціальні обчислення. Розглянемо наступний приклад: y = (2x - 6x + 5) / (4x + 2).

Відео: Графік дрібно-раціональної функції (Приклад 2)

кроки

Зображення з назвою Graph a Rational Function Step 1
1
Знайдіть точку перетину графіка з віссю Y. Для цього в функцію підставте х = 0 і отримаєте у = 5/2. Таким чином, точка перетину графіка з віссю Y має координати (0, 5/2). Відкладіть цю точку на координатній площині.
  • Зображення з назвою Graph a Rational Function Step 2

    Відео: Графік дрібно-раціональної функції (Приклад 3)

    2
    Знайдіть горизонтальні асимптоти. Розділіть чисельник на знаменник (в стовпчик), щоб визначити поведінку "у" при значеннях "х", Які прагнуть в нескінченність. У нашому прикладі результатом ділення буде y = (1/2)x - (7/4) + 17 / (8x + 4). При великих позитивних або негативних значеннях "х" 17 / (8x + 4) прагне до нуля, а графік наближається до прямої, заданої функцією y = (1/2)x - (7/4). Використовуючи пунктирну лінію, побудуйте графік цієї функції.
  • Якщо ступінь чисельника менше ступеня знаменника, то ви не зможете поділити чисельник на знаменник і асимптота опишеться функцією у = 0.
  • Якщо ступінь чисельника дорівнює ступеня знаменника, то асимптота є горизонтальною прямою, яка дорівнює відношенню коефіцієнтів при "х" у найвищому ступені.
  • Якщо ступінь чисельника на 1 більше ступеня знаменника, то асимптота є похилою пряму, кутовий коефіцієнт якої дорівнює відношенню коефіцієнтів при "х" у найвищому ступені.
  • Якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника на 2, 3 і т.д., то при великих значеннях |х| значення у прагнуть в нескінченність (позитивну або негативну) у вигляді квадратного, кубічного чи іншою мірою многочлена. В цьому випадку, швидше за все, не потрібно будувати точний графік функції, отриманої при діленні чисельника на знаменник.
  • Зображення з назвою Graph a Rational Function Step 3
    3
    Знайдіть нулі функції. Раціональна функція має нулі, коли її чисельник дорівнює нулю, тобто N (х) = 0. У нашому прикладі 2x - 6x + 5 = 0. Дискримінант цього квадратного рівняння: b - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Так як дискримінант від`ємний, то N (х), А отже і F (х) Не має дійсних коренів. Графік раціональної функції не перетинає вісь Х. Якщо у функції є нулі (коріння), то відкладіть їх на координатної площині.

    Відео: Гіпербола. Функція k / x і її графік

  • Зображення з назвою Graph a Rational Function Step 4
    4
    Знайдіть вертикальні асимптоти. Для цього прирівняти знаменник до нуля. У нашому прикладі 4x + 2 = 0 і х = -1/2. Побудуйте графік вертикальної асимптоти, використовуючи пунктирну лінію. Якщо при деякому значенні х N (х) = 0 і D (х) = 0, то вертикальна асимптота або існує, або не існує (це рідкісний випадок, але краще пам`ятати про нього).
  • Зображення з назвою Graph a Rational Function Step 5
    5
    Подивіться на залишок від ділення чисельника на знаменник. Він позитивний, негативний або дорівнює нулю? У нашому прикладі залишок дорівнює 17, тобто він позитивний. знаменник 4x + 2 позитивний праворуч від вертикальної асимптоти і негативний зліва від неї. Це означає, що графік раціональної функції при великих позитивних значеннях х наближається до асимптоти зверху, а при великих негативних значеннях х - знизу. Так як 17 / (8x + 4) ніколи не дорівнює нулю, то графік цієї функції ніколи не перетне пряму, задану функцією у = (1/2)х - (7/4).

    Відео: Графік дрібно-раціональної функції (Приклад)

  • Зображення з назвою Graph a Rational Function Step 6
    6
    Знайдіть локальні екстремуми. Локальний екстремум існує при N` (x) D (x) - N (x) D` (x) = 0. У нашому прикладі N` (x) = 4x - 6 і D` (x) = 4. N` (x) D (x) - N (x) D` (x) = (4x - 6) (4x + 2) - (2x - 6x + 5) * 4 = x + x - 4 = 0. Вирішивши це рівняння, ви знайдете, що x = 3/2 і x = -5/2. (Це не зовсім точні значення, але вони підійдуть для нашого випадку, коли надточних не потрібна.)
  • Зображення з назвою Graph a Rational Function Step 7
    7
    Знайдіть значення у для кожного локального екстремуму. Для цього підставте значення х в вихідну раціональну функцію. У нашому прикладі f (3/2) = 1/16 і f (-5/2) = -65/16. Відкладіть точки (3/2, 1/16) та (-5/2, -65/16) на координатної площині. Так як обчислення засновані на приблизних значеннях (з попереднього кроку), знайдені мінімум і максимум теж не зовсім точні (але, ймовірно, дуже близькі до точних значень). (Точка (3/2, 1/16) дуже близька до локального мінімуму. Починаючи з кроку 3, ми знаємо, що у завжди позитивна при хgt; -1/2, і ми знайшли невелике значення (1/16) - таким чином, в цьому випадку значення помилки вкрай маленьке.)
  • Зображення з назвою Graph a Rational Function Step 8
    8
    З`єднайте відкладені точки і плавно продовжите графік до асимптотам (не забудьте про правильному напрямку наближення графіка до асимптотам). Не забувайте, що графік не повинен перетинати вісь Х (див. Крок 3). Графік також не перетинається з горизонтальною і вертикальною асимптотами (див. Крок 5). Не міняйте напрям графіка крім як в точках екстремумів, знайдених в попередньому кроці.

    • Поради

    • Якщо ви виконали вищеописані дії строго по порядку, то немає необхідності обчислювати другі похідні (або аналогічні складні величини) для перевірки вашого рішення.
    • Якщо вам не потрібно обчислювати значення величин, ви можете замінити знаходження локальних екстремумів на обчислення деяких додаткових пар координат (х, у) Між кожною парою асимптот. Більш того, якщо вам все одно, як працює описаний метод, то не дивуйтеся, чому ви не можете знайти похідну і вирішити рівняння N` (x) D (x) - N (x) D` (x) = 0.
    • У деяких випадках вам доведеться працювати з многочленами вищих порядків. Якщо ви не можете знайти точне рішення за допомогою розкладання на множники, формул і т.п., то оціните можливі рішення, використовуючи чисельні методи, такі як метод Ньютона.
    • У рідкісних випадках чисельник і знаменник мають загальний змінний множник. Згідно описаним крокам це призведе до нуля і до вертикальної асимптоти на тому ж місці. Однак це неможливо, а поясненням служить один з наступних варіантів:
    • Нуль в N (х) Має більш високу кратність, ніж нуль в D (х). Графік F (х) Прагне до нуля в цій точці, але не визначений в ній. Вкажіть це, намалювавши окружність навколо точки.
    • Нуль в N (х) І нуль в D (х) Мають однакову кратність. Графік наближається до деякої ненульовий точці при цьому значенні х, але не визначений в ній. Вкажіть це, намалювавши окружність навколо точки.
    • Нуль в N (х) Має більш низьку кратність, ніж нуль в D (х). Тут існує вертикальна асимптота.


    Увага, тільки СЬОГОДНІ!
    Cхоже
    Все цікаве
    Як побудувати функцію Як побудувати функцію

    Відео: ЯК БУДУВАТИ ГРАФІК квадратичної функції (ПАРАБОЛА). Артур ШаріфовФункція - математичне вираз, в якому визначається залежність однієї змінної від іншої або відбивається зв`язок між елементами різних множин. В цьому випадку одному значенню…

    Як визначити ступінь окислення речовини Як визначити ступінь окислення речовини

    Відео: Ступінь окислювання в органічних сполуках.ступінь окислення умовний заряд атома в з`єднанні, обчислений виходячи з припущення, що воно складається лише з іонів. Одні елементи мають постійну ступінь окислення, інші ж здатні її змінювати. Щоб…

    Як побудувати графік в adobe illustrator Як побудувати графік в adobe illustrator

    Це керівництво покаже вам, як побудувати графік в Adobe Illustrator.Відео: Елементи інфографіки: створюємо кругову діаграмукроки 1Створіть новий документ і перейдіть до Graph Tool, клацніть лівою кнопкою миші і потягніть. На екрані з`явиться вікно…

    Як спрощувати складові дроби Як спрощувати складові дроби

    Складова дріб - це дріб, у якої в чисельнику або в знаменнику або і в чисельнику, і в знаменнику знаходиться дріб. З цієї причини складові дробу ще називають багатоповерховими дробом. Процес спрощення складових дробів варіюється від простого до…

    Як побудувати графік лінійного рівняння Як побудувати графік лінійного рівняння

    Ви не знаєте, як побудувати графік лінійного рівняння без підстановок значень і відповідних обчислень? Це досить просто. У цій статті ми розповімо, як це зробити.Відео: Лінійні рівняння з двома змінними кроки 1Переконайтеся, що лінійне рівняння дано…

    Як вирішувати рівняння з одним невідомим Як вирішувати рівняння з одним невідомим

    Існує безліч способів вирішувати рівняння з одним невідомим. Ці рівняння можуть включати ступеня і радикали, або ж прості операції ділення і множення. Не залежно від використовуваного вами способу розв`язання, вам потрібно буде знайти спосіб…

    Як спростити приклади Як спростити приклади

    Відео: Спрощення виразів Як спростити математику ДПА ОГЕЩоб спростити дробове раціональне вираз, необхідно провести арифметичні дії в певному порядку. Спочатку виконуються дії в дужках, потім множення і ділення і в останню чергу - додавання і…

    Як спрощувати раціональні вирази Як спрощувати раціональні вирази

    Спрощення раціональних виразів - досить простий процес, якщо воно є одночленной, але доведеться докласти більше зусиль, якщо раціональне вираз - многочлен. Ця стаття розповість, як спростити раціональне вираз в залежності від його типу. крокиМетод 1…

    Як спростити математичний вираз Як спростити математичний вираз

    Найчастіше в задачах потрібно привести спрощений відповідь. Хоча і спрощений, і неспрощених відповіді є вірними, викладач може знизити вашу оцінку, якщо ви не спростите відповідь. Більш того, з спрощеним математичним виразом набагато легше…

    Визначення, графік і властивості функції: структура курсу математичного аналізу в школі Визначення, графік і властивості функції: структура курсу математичного аналізу в школі

    Вперше з поняттям функції учні освітніх шкіл зазвичай зустрічаються в 7 класі, коли вони підходять до вивчення курсу алгебри як окремого напрямку математики. Починається вивчення функцій, як правило, без введення складних визначень і термінів, що…

    Екстремуми функції - простою мовою про складне Екстремуми функції - простою мовою про складне

    Щоб зрозуміти, що таке точки екстремуму функції, зовсім необов`язково знати про наявність першої та другої похідної і розуміти їх фізичний сенс. Для початку потрібно усвідомити таке:Відео: Blender - перші кроки моделюванняекстремуми функції…


    Увага, тільки СЬОГОДНІ!
    » » Як побудувати графік раціональної функції