Як знайти висоту в прямокутному трикутнику
категорія Поради та секрети
Відео: Знаходження косинуса і синуса кута в прямокутному трикутнику
Прямокутний трикутник - це трикутник, в якому один з кутів дорівнює 90 176-. Очевидно, що катети прямокутного трикутника є двома його висотами. Знайдемо третю висоту, опущену з вершини прямого кута до гіпотенузи.
Вам знадобиться
- чистий аркуш папери-
- карандаш-
- линейка-
- підручник з геометрії.
Інструкція
1
Розглянемо прямокутний трикутник ABC, де &ang-ABC = 90 176-. Опустимо з цього кута висоту h на гіпотенузу AC, точку перетину висоти з гіпотенузою позначимо D.
2
Трикутник ADB подібний трикутнику ABC з двох кутах: &ang-ABC = &ang-ADB = 90 176-, &ang-BAD - загальний. З подоби трикутників отримуємо співвідношення сторін: AD / AB = BD / BC = AB / AC. Беремо перше і останнє співвідношення пропорції і отримуємо, що AD = AB 178- / AC.
3
Оскільки трикутник ADB прямокутний, для нього справедлива теорема Піфагора: AB 178- = AD 178- + BD 178-. Підставляємо в це рівність AD. Виходить, що BD 178- = AB 178- - (AB 178- / AC) 178-. Або, що те ж, BD 178- = AB 178- (AC 178 - AB 178 -) / AC 178-. Так як трикутник ABC прямокутний, то AC 178- - AB 178- = BC 178-, тоді отримаємо BD 178- = AB 178-BC 178- / AC 178- або, витягуючи корінь з обох частин рівності, BD = AB * BC / AC.
4
З іншого боку, трикутник BDC також подібний трикутнику ABC з двох кутах: &ang-ABC = &ang-BDC = 90 176-, &ang-DCB - загальний. З подоби цих трикутників отримуємо співвідношення сторін: BD / AB = DC / BC = BC / AC. З цієї пропорції висловлюємо DC через сторони початкового прямокутного трикутника. Для цього розглядаємо друга рівність в пропорції і отримуємо, що DC = BC 178- / AC.
5
Зі співвідношення, отриманого в кроці 2, маємо, що AB 178- = AD * AC. З кроку 4 маємо, що BC 178- = DC * AC. тоді BD 178- = (AB * BC / AC) 178- = AD * AC * DC * AC / AC 178- = AD * DC. Таким чином, висота BD дорівнює кореню з добутку AD і DC або, як кажуть, середньому геометричному частин, на які ця висота розбиває гіпотенузу трикутника.
Рада 2: Як побудувати висоту трикутника
висотою трикутника називається пряма, опущена з однією з його вершин, перпендикулярно на пряму, яка містить сторону трикутника, протилежну цій вершині трикутника. Кожен трикутник має три висоти.
1
Для того, щоб побудувати висоту остроугольного трикутника, проведіть з його вершини пряму, перпендикулярну протилежні стороні. Відрізок, що з`єднує точку перетину перпендикулярних прямих і вершину, і буде вершиною трикутника, опущеною з заданої висоти. При цьому всі три висоти остроугольного трикутника повинні лежати всередині трикутника.
2
У разі тупоугольного трикутника, для того, щоб побудувати висоти, опущені з двох його гострих кутів, необхідно продовжити прямі, що містять сторони, прилеглі до тупого кута. Висота, опущена з гострого кута тупоугольного трикутника, лежить на продовженні противолежащей вершині боку, за межами трикутника.
3
Якщо один з кутів трикутника прямий, то сторони трикутника, прилеглі до прямого кута (катети) вже є його висотами (збігаються з висотами трикутника). Третя висота прямокутного трикутника, проведена до його гіпотенузи, лежить всередині меж сторін трикутника.
4
Для того щоб побудувати висоту будь-якого трикутника візьміть циркуль і накресліть кола з двох його вершин, радіусом, рівним прилеглої стороні трикутника. Окружності буду мати дві точки перетину, з`єднавши які, ви отримаєте пряму, яка містить висоту трикутника, проведену до його третій вершині.
Корисна порада
Всі три прямі, що містять висоти будь-якого трикутника мають спільну точку - точку перетину. Дана точка називається ортоцентром трикутника. У гострокутна трикутнику Ортоцентр знаходиться всередині трикутника і лежить на відрізках, які є висотами трикутника. У прямокутному трикутнику ортоцентром трикутника є одна з його вершин - вершина прямого кута трикутника. У тупоугольного трикутнику точка перетину його висот лежить за межами трикутника, поза відрізків, що з`єднують відповідні вершини трикутників з точками перетину висоти трикутника і прямої містить його протилежну сторону.
Зверніть увагу
Якщо висота проведена з вершини з прямим кутом до гіпотенузи, то трикутник ділиться на два менших трикутника, подібних вихідного і подібних один одному.
Корисна порада
У прямокутному трикутнику обидва катета виступають в ролі безпосередньо самих висот.