Імовірність події. Визначення ймовірності події

Спочатку, будучи всього лише зборами відомостей і емпіричних спостережень за грою в кістки, теорія ймовірності стала грунтовної наукою. Першими, хто надав їй математичний каркас, були Ферма і Паскаль.

Від роздумів про вічне до теорії ймовірностей

Дві особи, яким теорія ймовірностей зобов`язана багатьма фундаментальними формулами, Блез Паскаль і Томас Байес, відомі як глибоко віруючі люди, останній був пресвітеріанським священиком. Мабуть, прагнення цих двох вчених довести помилковість думки про якусь Фортуні, дарована удачу своїм улюбленцям, дало поштовх до досліджень в цій області. Адже насправді будь-яка азартна гра з її виграшами і програшами - це всього лише симфонія математичних принципів.

Завдяки азарту кавалера де Мері, який в рівній мірі був гравцем і людиною небайдужою до науки, Паскаль змушений був знайти спосіб розрахунку ймовірності. Де Мері цікавив таке питання: "Скільки разів потрібно викидати попарно дві кістки, щоб ймовірність отримати 12 очок перевищувала 50%? ". Друге питання, вкрай цікавило кавалера: "Як розділити ставку між учасниками незакінченою гри? " Зрозуміло, Паскаль успішно відповів на обидва запитання де Мері, який став мимовільним зачинателем розвитку теорії ймовірностей. Цікаво, що персона де Мері так і залишилася відома в даній області, а не в літературі.

Раніше жоден математик ще не робив спроб обчислювати ймовірності подій, оскільки вважалося, що це лише ворожильна рішення. Блез Паскаль дав перше визначення ймовірності події та показав, що це конкретна цифра, яку можна обґрунтувати математичним шляхом. Теорія ймовірностей стала основою для статистики і широко застосовується в сучасній науці.

Що таке випадковість

Якщо розглядати випробування, яке можна повторити нескінченне число разів, тоді можна дати визначення випадковій події. Це один з можливих фіналів досвіду.

Досвідом є здійснення конкретних дій в незмінних умовах.

Щоб можна було працювати з результатами досвіду, події зазвичай позначають буквами А, B, C, D, Е ...

Імовірність випадкової події

Щоб можна було приступити до математичної частини ймовірності, потрібно дати визначення всіх її складових.

Імовірність події - це виражена в числовий формі міра можливості появи деякої події (А або B) в результаті досвіду. Позначається ймовірність як P (A) або P (B).

У теорії ймовірностей відрізняють:

• достовірне подія гарантовано відбувається в результаті досвіду Р (&Omega-) = 1;
• неможливе подія ніколи не може статися Р (Ø-) = 0;
• випадкове подія лежить між достовірним і неможливим, то є ймовірність його появи можлива, але не гарантована (ймовірність випадкового події завжди в межах 0&le-Р (А)&le- 1).

Відносини між подіями

Розглядають як одне, так і суму подій А + В, коли подія зараховується при здійсненні хоча б одного зі складових, А чи В, або обох - А і В.

По відношенню один до одного події можуть бути:

• Рівноможливими.
• Сумісними.
• Несумісними.
• Протилежними (взаємовиключними).
• Залежними.

Якщо дві події можуть статися з однаковою ймовірністю, то вони рівноможливими.

Якщо поява події А чи не зводить до нуля ймовірність поява події B, то вони сумісні.

Якщо події А і В будь-коли відбуваються одночасно в одному і тому ж досвіді, то їх називають несумісними. Кидання монети - хороший приклад: поява решки - це автоматично не появу орла.

Імовірність для суми таких несумісних подій складається з суми ймовірностей кожного з подій:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В)

Відео: Що таке ймовірність події

Якщо наступ однієї події робить неможливим настання іншого, то їх називають протилежними. Тоді одна з них позначають як А, а інше - (читається як "НЕ А"). Поява події А означає, що не відбулося. Ці дві події формують повну групу з сумою ймовірностей, що дорівнює 1.

Залежні події мають взаємний вплив, зменшуючи або збільшуючи ймовірність один одного.

Відносини між подіями. приклади

На прикладах набагато простіше зрозуміти принципи теорії ймовірностей і комбінації подій.

Досвід, який буде проводитися, полягає в витягуванні кульок з ящика, а результату кожного досвіду - елементарний результат.

Подія - це один з можливих результатів досвіду - червоний куля, синій куля, куля з номером шість і т. Д.

Випробування №1. Беруть участь 6 куль, три з яких пофарбовані в синій колір, на них нанесені непарні цифри, а три інших - червоні з парними цифрами.

Випробування №2. Беруть участь 6 куль синього кольору з цифрами від одного до шести.

Виходячи з цього прикладу, можна назвати комбінації:

• Достовірна подія. В ісп. №2 подія "дістати синій куля" достовірне, оскільки ймовірність його появи дорівнює 1, так як всі кулі сині і промаху бути не може. Тоді як подія "дістати кулю з цифрою 1" - випадкове.
• Неможливе подія. В ісп. №1 з синіми і червоними кулями подія "дістати фіолетова куля" неможливе, оскільки ймовірність його появи дорівнює 0.
• Рівноможливими події. В ісп. №1 події "дістати кулю з цифрою 2" і "дістати кулю з цифрою 3" рівноможливими, а події "дістати кулю з парним числом" і "дістати кулю з цифрою 2" мають різну ймовірність.
• Сумісні події. Два рази поспіль отримати шістку в процесі кидання гральної кістки - це сумісні події.
• Несумісні події. У тому ж ісп. №1 події "дістати червоний куля" і "дістати кулю з непарним числом" не можуть бути суміщені в одному і тому ж досвіді.
• Протилежні події. Найбільш яскравий приклад цього - підкидання монет, коли витягування орла рівносильно невитягіванію решки, а сума їх ймовірностей - це завжди 1 (повна група).
• Зовсім події. Так, в ісп. №1 можна поставити собі за мету отримати два рази поспіль червону кулю. Його витяг або витягуванні її в перший раз впливає на можливість отримання вдруге.

Видно, що перша подія суттєво впливає на ймовірність другого (40% і 60%).

Формула ймовірності події

Перехід від гадательних роздумів до точних даними відбувається за допомогою переказу теми в математичну площину. Тобто судження про випадковий подію, як "велика ймовірність" або "мінімальна ймовірність " можна перевести до конкретних числових даних. Такий матеріал вже допустимо оцінювати, порівнювати і вводити в більш складні розрахунки.

З точки зору розрахунку, визначення ймовірності події - це відношення кількості елементарних позитивних результатів до кількості всіх можливих результатів досвіду щодо певної події. Позначається ймовірність через Р (А), де Р означає слово "probabilite", Що з французької перекладається як "ймовірність".

Отже, формула ймовірності події:

Відео: Визначення ймовірності випадкової події

Р (А) = m / n,

Де m - кількість сприятливих результатів для події А, n - сума всіх результатів, можливих для цього досвіду. При цьому ймовірність події завжди лежить між 0 і 1:

0 &le- Р (А)&le- 1.

Розрахунок ймовірності події. приклад

Візьмемо ісп. №1 з кулями, яке описано раніше: 3 синіх кулі з цифрами 1/3/5 і 3 червоних з цифрами 2/4/6.

На підставі цього випробування можна розглядати кілька різних завдань:

Відео: Визначення ймовірності настання події

• A - випадання червоного кулі. Червоних куль 3, а всього варіантів 6. Це найпростіший приклад, в якому ймовірність події дорівнює Р (А) = 3/6 = 0,5.
• B - випадання парного числа. Всього парних чисел 3 (2,4,6), а загальна кількість можливих числових варіантів - 6. Імовірність цієї події дорівнює Р (B) = 3/6 = 0,5.
• C - випадання числа, більшого, ніж 2. Всього таких варіантів 4 (3,4,5,6) із загальної кількості можливих результатів 6. Імовірність події С дорівнює Р (С) = 4/6 = 0,67.

Як видно з розрахунків, подія С має велику ймовірність, оскільки кількість ймовірних позитивних результатів вище, ніж в А і В.

несумісні події

Такі події не можуть одночасно з`явитися в одному і тому ж досвіді. Як в ісп. №1 неможливо одночасно дістати синій і червоний куля. Тобто можна дістати або синій, або червону кулю. Точно так же в гральної кістки не можуть одночасно з`явитися парне і непарне число.

Відео: Визначення ймовірності настання події

Імовірність двох подій розглядається як ймовірність їх суми або твори. Сумою таких подій А + В вважається така подія, яка полягає в появі події А чи В, а твір їх АВ - в появі обох. Наприклад, поява двох шісток відразу на гранях двох кубиків в одному кидку.

Сума кількох подій являє собою подія, яка передбачає появу, по крайней мере, одного з них. Твір декількох подій - це спільна поява їх усіх.

У теорії ймовірності, як правило, вживання союзу "і " позначає суму, союзу "або " - множення. Формули з прикладами допоможуть зрозуміти логіку додавання і множення в теорії ймовірностей.

Імовірність суми несумісних подій

Якщо розглядається ймовірність несумісних подій, то ймовірність суми подій дорівнює додаванню їх ймовірностей:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В)

Наприклад: обчислимо ймовірність того, що в ісп. №1 з синіми і червоними кулями випаде число між 1 і 4. Розрахуємо не в одну дію, а сумою ймовірностей елементарних складових. Отже, в такому досвіді всього 6 куль або 6 за всіма можливими результатами. Цифри, які задовольняють умову, - 2 і 3. Вірогідність випадання цифри 2 становить 1/6, ймовірність цифра 3 також 1/6. Імовірність того, що випаде цифра між 1 і 4 дорівнює:

1/6 + 1/6 = 1/3

Імовірність суми несумісних подій повної групи дорівнює 1.

Так, якщо в досвіді з кубиком скласти ймовірності випадання всіх цифр, то в результаті отримаємо одиницю.

Також це справедливо для протилежних подій, наприклад в досвіді з монетою, де одна її сторона - це подія А, а інша - протилежна подія, як відомо,

Р (А) + Р () = 1

Імовірність твори несумісних подій

Множення ймовірностей застосовують, коли розглядають появу двох і більше несумісних подій в одному спостереженні. Імовірність того, що в ньому з`являться події A і B одночасно, дорівнює добутку їх ймовірностей, або:

Р (А * В) = Р (А) * Р (В)

Наприклад, ймовірність того, що в ісп. №1 в результаті двох спроб два рази з`явиться синій куля, дорівнює

½- *½- = ¼

Тобто ймовірність настання події, коли в результаті двох спроб з витяганням куль буде витягнуто тільки сині кулі, дорівнює 25%. Дуже легко виконати практичні експерименти цього завдання і побачити, чи так це насправді.

спільні події

Події вважаються спільними, коли поява одного з них може збігтися з появою іншого. Незважаючи на те що вони спільні, розглядається ймовірність незалежних подій. Наприклад, кидання двох гральних кісток може дати результат, коли на обох з них випадає цифра 6. Хоча події збіглися і з`явилися одночасно, вони незалежні один від одного - могла випасти всього одна шістка, друга кістка на неї впливу не має.

Імовірність спільних подій розглядають як ймовірність їх суми.

Імовірність суми спільних подій. приклад

Імовірність суми подій А і В, які по відношенню один до одного спільні, дорівнює сумі ймовірностей події за вирахуванням ймовірності їх твори (тобто їх спільного впровадження):

Р_{совместн.}(А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ)

Припустимо, що ймовірність попадання в мішень одним пострілом дорівнює 0,4. Тоді подія А - влучення в мішень в першій спробі, В - у другій. Ці події спільні, оскільки не виключено, що можна вразити мішень і з першого, і з другого пострілу. Але події не є залежними. Яка ймовірність настання події поразки мішені з двох пострілів (хоча б з одного)? Відповідно до формули:

0,4 + 0,4-0,4 * 0,4 = 0,64

Відповідь на питання наступний: "Імовірність потрапити в ціль з двох пострілів дорівнює 64% ".

Ця формула ймовірності події може бути застосовна і до несумісною подій, де ймовірність спільно появи події Р (АВ) = 0. Це означає, що ймовірність суми несумісних подій можна вважати окремим випадком запропонованої формули.

Геометрія ймовірності для наочності

Цікаво, що ймовірність суми спільних подій може бути представлена у вигляді двох областей А і В, які перетинаються між собою. Як видно з картинки, площа їх об`єднання дорівнює загальній площі за мінусом області їх перетину. Це геометричне пояснення роблять більш зрозумілою нелогічну на перший погляд формулу. Відзначимо, що геометричні рішення - не рідкість в теорії ймовірностей.

Визначення ймовірності суми безлічі (більше двох) спільних подій досить громіздке. Щоб обчислити її, потрібно скористатися формулами, які передбачені для цих випадків.

Зовсім події

Залежними події називаються в разі, якщо наступ одного (А) з них впливає на ймовірність настання іншого (В). Причому враховується вплив як появи події А, так і його не появу. Хоча події і називаються залежними по визначенню, але залежно лише одне з них (В). Звичайна ймовірність позначалася як Р (В) або ймовірність незалежних подій. У випадку з залежними вводиться нове поняття - умовна ймовірність Р_A(В), яка є ймовірністю залежного події В за умови, що сталося події А (гіпотези), від якого воно залежить.

Але ж подія А так само випадково, тому у нього також є ймовірність, яку потрібно і можна враховувати в здійснюваних розрахунках. Далі на прикладі буде показано, як працювати з залежними подіями і гіпотезою.

Приклад розрахунку ймовірності залежних подій

Хорошим прикладом для розрахунку залежних подій може стати стандартна колода карт.

На прикладі колоди в 36 карт розглянемо залежні події. Потрібно визначити ймовірність того, що друга карта, витягнута з колоди, буде бубновою масті, якщо перша витягнута:

1. Бубнова.
2. Інший масті.

Очевидно, що ймовірність другої події В залежить від першого А. Так, якщо справедливий перший варіант, що в колоді стало на 1 карту (35) і на 1 бубна (8) менше, ймовірність події В:

Р_A(В) = 8/35 = 0,23

Якщо ж справедливий другий варіант, то в колоді стало 35 карт, і як і раніше зберігся повний число бубон (9), тоді ймовірність наступної події В:

Р_A(В) = 9/35 = 0,26.

Видно, що якщо подія А домовлено в тому, що перша карта - бубна, то ймовірність події В зменшується, і навпаки.

Множення залежних подій

Керуючись попередньої главою, ми приймаємо перша подія (А) як факт, але якщо говорити по суті, воно має випадковий характер. Імовірність цієї події, а саме витяг бубни з колоди карт, дорівнює:

Р (А) = 9/36 = 1/4

Оскільки теорія не існує сама по собі, а покликана служити в практичних цілях, то справедливо відзначити, що частіше за все потрібна ймовірність твори залежних подій.

Згідно з теоремою про твір ймовірностей залежних подій, ймовірність появи спільно залежних подій А і В дорівнює ймовірності однієї події А, помножена на умовну ймовірність події В (залежного від А):

Р (АВ) = Р (А) * Р_A(В)

Тоді в прикладі з колодою можливість отримання двох карт з мастю бубни дорівнює:

9/36 * 8/35 = 0,0571, або 5,7%

І можливість отримання з самого початку не бубни, а потім бубни, дорівнює:

27/36 * 9/35 = 0,19, або 19%

Видно, що ймовірність появи події В більше за умови, що першою витягується карта масті, відмінною від бубни. Такий результат цілком логічний і зрозумілий.

Повна ймовірність події

Коли завдання з умовними ймовірностями стає багатогранною, то звичайними методами її обчислити не можна. Коли гіпотез більше двох, а саме А1, А2, ..., А_n, ..утворює повну групу подій за умови:

• P (A_i) Gt; 0, i = 1,2, ...
• A_i&cap- A_j=Ø-, i&ne-j.
• &Sigma-_k A_k=&Omega-.

Отже, формула повної ймовірності для події В при повній групі випадкових подій А1, А2, ..., А_n дорівнює_:

Погляд у майбутнє

Імовірність випадкової події вкрай необхідна в багатьох сферах науки: економетрики, статистикою, у фізиці і т. Д. Оскільки деякі процеси неможливо описати детерміновано, так як вони самі мають імовірнісний характер, необхідні особливі методи роботи. Теорія ймовірності події може бути використана в будь-який технологічною сфері як спосіб визначити можливість помилки або несправності.

Можна сказати, що, пізнаючи ймовірність, ми певним чином робимо теоретичний крок в майбутнє, розглядаючи його через призму формул.